SUY NGHĨ VỀ
MỘT DÃY BẤT ĐẲNG THỨC
CAO MINH QUANG (GV. THPT chuyên Nguyễn Bĩnh Khiêm Vĩnh Long)

Nhận xét. Với 2 số thực x, y dương ta có:

x
2
y
2
3
x+y
3 ≥
x
3
y
3
2 ≥ (x+y
x
2+ xy
y
2
6 ≥
x+y
2
3≥
xy(x+y
2 (1)
Chứng minh. Từ (x+y)2 ≥ 2xy, suy ra

x+y
2
3≥
xy(x+y
2.
Vì (x – y)2 ≥ 0 và (x + y)(x – y)2 ≥ 0, suy ra

x
3
y
3
2 ≥ (x+y
3x
2−3xy 3y
2
6 =
x+y[2
x−y
2+
x
2+xy
y
2
6

≥ (x+y
x
2+xy
y
2
6 =
x+y(4
x
2+4xy+4
y
2
24
x+y
3
x+y
2
x−y
2
6

≥
x+y
2
3.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
x3 + y3 =
x+y
4(4
x
2−4xy+4
y
2
4
x+y
3 ≤
x+y
2
x+y
2
4
x
2−4xy+4
y
2
3
27.4
x+y
4

=
2
x
2
y
2
3
x+y
3

Kết hợp các bất đẳng thức trên ta được dãy bất đẳng thức (1).
Các bất đẳng thức (1) xảy ra khi x= y.
Sau đây ta xét một số bài toán áp dụng bất đăng thức (1).
Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng:
a
3
b
3
c
3
3 ≥
a+b+c
3
3
(2)
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức (1) với số thực dương d ta có:

a
3
b
3
2 ≥
a+b
2
3
;
c
3
d
3
2 ≥
c+d
2
3

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và áp dụng (1) ta có:

a
3
b
3
c
3
d
3
2≥
a+b
2
3 +
c+d
2
3 ≥ 2
1
2
a+b
2
c+d
2
3

=
1
32
a+b+c+d
3

Với d =
a+b+c
3, từ bất đẳng thức trên ta có:

a
3
b
3
c
3
a+b+c
3
3
2 ≥
1
32
a+b+c
a+b+c
3
3 = 2
a+b+c
3
3


a
3
b
3
c
3
3 ≥
a+b+c
3
3

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số thực dương chứng minh rằng:

a
3
b
3
c
3
3abc +
8abc(a+b)(b+c)(c+a ≥ 2.
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và (2) ta có:

a
3
b
3
c
3
3 ≥
a+b+c
3
3=
a+b
b+c
c+a
6
3

≥
1
6
3.[3
3(a+b)(b+c)(c+a]3 = (a+b)(b+c)(c+a
8


a
3
b
3
c
3
3abc +
8abc(a+b)(b+c)(c+a ≥
3(a+b)(b+c)(c+a
8abc
8abc